经典悖论漫游（泽熙）

古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。

本文将根据悖论形成的原因，粗略地把它归纳为六种类型，分上、中、下三个部份。这是第一部份：由概念自指引发的悖论和引进无限带来的悖论

（一）由自指引发的悖论以下诸例都存在着一个概念自指或自相关的问题：

如果从肯定命题入手，就会得到它的否定命题；如果从否定命题入手，就会得到它的肯定命题。

（二）引进无限带来的悖论《墨子。经说下》中有一句话：“南方有穷，则可尽；无穷，则不可尽。”

 如果在有限中引进无限，就可能引起悖论。

（三）由一因多果片面推理引致的悖论这种形式的悖论类似于诡辩。诡辩在现实中是令人厌恶的，但是在逻辑学的探讨中有相当的位置。孔多塞说：“希腊人滥用日常语言的各种弊端，玩弄字词的意义、以便在可悲的模棱两可之中困搅人类的精神。可是，这种诡辩却也赋予了人类的精神以一种精致性，同时它又耗
尽了他们的力量来反对虚幻的难题。”

古希腊哲学流派中曾经有一个诡辩学派，又叫智者派。他们对自然哲学持怀疑态度，认为世界上没有绝对不变的真理。前面提到的普洛道格拉斯（Ｐｒｏ－ｔａｇｒａｓ，约公元前４８５－前４１０）是其著名的代表人物，他认为：“人是衡量万物的尺度。”雅典政府因其主张无神论，予以驱逐并焚烧了他的书
籍。

从苏格拉底到亚里斯多德都反对诡辩学说，黑格尔说，苏格拉底常运用他的辩证法去攻击诡辩学派，尤其是普洛道格拉斯。尽管这些智者的理论多已失传，我们仍然可以从亚里斯多德的《形而上学》（吴寿彭译）中了解一些当时的论辩。 根据亚里斯多德的记载，柏拉图（Ｐｌａｔｏ，公元前４２７－前３４７）
曾说：诡辩是专讨论“无事物”的，因为诡辩派的论题老是纠缠于事物的属性。

例如，“文明的”与“读书的”为同抑异，“文明的哥里斯可”与“哥里斯可”是否相同？以及每一事物并不常是而今是者，是否便当成是，由此而引致（悖解）的结论（同上）。

斥形式逻辑而提倡辩证法的黑格尔（１７７０－１８３１）说柏拉图发明了辩证法。“柏拉图运用辩证法以指出一切固定的知性规定的有限性。他从一推演出多，但仍然指出多之所以为多，复只能规定为一。”（《小逻辑》）

亚里斯多德认为：凡现存的事物其生成与消失必有一个过程，而属性事物则不然。然而，我们还得尽可能地追踪偶然属性之本质与其来由；也许因此可得明白何以不能成立有关属性的学术（《形而上学》卷六章二）。在他看来，诡辩理论就是“有关属性的学术”而不是“属性之本质与其来由”。

诡辩完善的是学术体系，而不是知识。孔多塞在《人类精神进步史表纲要人类精神进步史表纲要》（何兆武、何冰译）的《第四个时代》中说：然而希腊的智者和希腊的学人，“并没有发现真理，反而是在铸造各种体系；他们忽视了对事实的观察，为的是自己好投身于自己的想象之中；他们既然无法把自己的意见
置于证明的基础之上，便力图以诡辩来维护它们。”

可见，诡辩学派的致命点就是忽略“本质”而纠缠“属性”，从现存的事物中推论出悖解的结论来，而不详细考察事物的真实，在实践的基础上加以证明。

对付诡辩最好的方式是运用辩证法并在实践中加以考证。

３－１　“什么是诡辩？”

有学生问他的希腊老师：“什么是诡辩？”老师反问到：“有甲乙两人，甲很干净，乙很脏。如果请他们洗澡，他们中间谁会洗？”这里有四种可能，一是甲洗，因为他有爱干净的习惯；二是乙洗，因为他需要；三是两人都洗，一个是因为习惯，另一个是因为需要；四是两人都没洗，因为脏人没有洗澡的习惯，干净人不需要洗。这四种可能彼此相悖，无论学生作出怎样的回答，老师都可以予以反驳，因为他不需要有一个客观的标准，这就是诡辩。

３－２　“父在母先亡”

这是一个可以自圆其说的乩语。它也有四种解释：一是“父在，母先亡”；二是“父在母之先亡”；三是如果父母健在，可以解释为将来；四是即使父母都去世了，也可以解释为“父亲在的时候，母亲就去世了。”或者是“父亲在母亲以前就去世了。”真是左右逢源。

从逻辑顺序上看，上面这两个例子正好是反其道而用。无论正命题还是反命题都可以根据所谓的客观理由进行诡辩，形成自圆其说或诘难。所以葛拉西安在《智慧书：永恒的处世经典》中说：“诡辩是一种欺骗，乍一听，它蛮有道理，并因其刺激、新奇而令人心惊，但随后，当其虚饰之伪装被揭穿，就会自取其辱。”

３－３　邓析赎尸诡论《吕氏春秋》记载了这样一个故事：洧水发了大水，淹死了郑国富户家的一员。尸体被别人打捞起来，富户的家人要求赎回。然而捞到尸体的人要价太高，富户的家人不愿接受，他们找邓析出主意。邓析说：“不用着急，除你之外，他还会卖给谁？”捞到尸体的人等得急了，也去找邓析要主意。邓析却回答：“不要着急，他不从你这里买，还能从谁那里买？”

邓析生在春秋末年，与老子和孔子基本同时，是战国名家的鼻祖，著名的讼师，他的著作已经失传。同一个事实，邓析却推出了两个相反的结论，每一个听起来都合乎逻辑，但合在一起就荒谬了。邓析是不是希望他们相持一段时间后，双方都可以找到一个可以接受的价格平衡点？我们只能猜测。后来，邓析被杀，就是因为子产认为他“以非为是，以是为非，是非无度，而可与不可日变”。可见，邓析是一个没有原则的人。身为讼师，邓析善于辞辩，而不跳出诡论寻找客观的解决办法。严谨的逻辑推理固然具有说服性，但最终还是要回到现实中来。

３－４　公孙龙论秦赵之约《吕氏春秋》介绍过公孙龙的一个诡论：秦国与赵国订立条约：今后，秦国想做的，赵国帮助；赵国想做的，秦国帮助。不久，秦国兴师攻打魏国，赵国打算援救。秦王不高兴，差人对赵王说：秦国想做的，赵国帮助；赵国想做的，秦国帮助。现在秦国要打魏国，而赵国援救他们，这是违约。赵王把这个消息转告给平原君，平原君向公孙龙请教。公孙龙回答：“赵王也可以派人对秦王说：赵国打算援救魏国，现在秦国却不帮助赵国，这也不合乎条约。”

不管这个寓言的真实性如何，他的推理无懈可击。公孙龙对于秦赵之约的回应，与邓析赎尸诡论一脉相承。但公孙龙是站在弱小的赵魏这一边反对强秦的。

３－５　“彼亦一是非，此亦一是非。”

这是《庄子。齐物论》中的一句话，以强调事物的相对性而著称，比如，人睡在潮湿的地方会腰疼，但泥鳅会腰疼吗？人爬到高树上会胆怯，猿猴会腰疼吗？于是，他的结论是：“彼亦一是非，此亦一是非。”各有各的相对标准。

《团结报》曾经刊登过一篇一勺的《名师出高徒》。说康白情１９１９年前在北京大学选修马叙伦先生的“老庄哲学”，没有一次不迟到。有一次，马叙伦责问康白情为什么姗姗来迟。康白情回答：“住得太远。”马先生不以为然，反问道：从你的住处走到这里只要三、五分钟，怎么叫太远！康白情也不示弱，说：先生讲庄子，庄子说：“彼亦一是屋非，此亦一是非”。先生不以为远，而我以为远。马叙伦一时无话可说。

３－６　“我没有受贿”

一个商人被控受贿。他宣称：“我没有受贿。”显然，这个商人既是观察者也是被观察者。我们不知道他是以观察者的身份进行辩护，还是以被观察者的身份进行诡辩。这两种推论都合乎逻辑，如果没有别的证据，就不能判决。

３－７　囚犯诡论甲乙两人偷东西，人赃俱物。他们被分开审问，可能的惩罚如下：乙否认乙承认甲否认：甲、乙各一年监禁乙释放、甲五年监禁甲承认：甲释放、乙五年监禁甲、乙各三年监禁甲乙二囚犯都会想到对自已最有利的去做：以甲而言，甲若承认，最多三年监禁，如果乙也承认；如果乙否认，甲马上获
得自由。这个结果并不坏。这是博弈，乙也会同样这么想。如果甲改变主意，将冒监禁五年，而乙却获得自由；反之也一样。如果双方都改变主意，各监禁一年，也可以达到“共利”。

但是，这一决策的过程可能是无限的理性推理：假如我选择“共利”策略，我必定相信对方也将选择“共利”策略；假如我选择“私利”策略，对方也会选择“私利”策略予以防范。这个“推己及人，推人及己”的过程可以无限地推下去，他的极限状态在博弈论里叫做“共享知识”，但是没有人可以达到这个状态，囚犯也摆脱不了这个悖论。

（四）由名实相悖引起的悖论古代中国有不少经典的悖论都来自名家。名家是战国时期的一个学派，他们的学说在于循名责实，但结果也往往被认为是流于诡辩。名家始于邓析，后有惠施、公孙龙等大家。

在古希腊，亚里斯多德认为：辩证家与诡辩派穿着与哲学家相同的服装，但不是一回事。对于诡辩术，智慧只是貌似而已，辩证家则将一切事物囊括于他们的辩证法中，而“实是”也是他们所共有的一个论题；因而辩证法也包含了原属于哲学的这些主题。诡辩术和辩证法谈论与哲学上同类的事物，但哲学毕竟异于
辩证法者由于才调不同，哲学毕竟异于诡辩术者则由学术生活的目的不同。哲学在切求真知时，辩证法专务批评；至于诡辩术尽管貌似哲学，终非哲学（《形而上学》卷四章一）。

冯友兰先生在《中国哲学简史》第八章《名家》里有专门的讨论。他认为，中国的“名家”不完全等同于西方的诡辩家、逻辑家或辩证家。如果说古希腊的辩证家和诡辩派专攻属性而不是本质的话，那么名家则在于研究“名”与“实”的关系，而且重“名”甚于重“实”是他们的精神实质。这里的“名实”就是名目与实际。冯友兰认为中国的名家应该翻译为“Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｎａｍｅ”以示区别，我在《不列颠百科全书》上看到的正是这样翻译的。

名与实关系的争论对中国哲学的影响巨大，如“孔子有正名、老子有无名、墨子有取实予名的争辩”。除名家以为，荀子对古逻辑学的贡献也很大。公孙龙的辩论执名为实，“专决于名”而不落实到经验的事物，看看他的雄辩，就会发现一些奇怪的问题。《庄子。秋水篇》提到，公孙龙曾经自夸：“困百家之知，穷众口之辩”。

４－１　“白马非马”

战国时赵国人公孙龙曾经著有《公孙龙子》一书，平原君礼遇甚厚。其“白马非马”和“坚白异同之辩”都是他的著名命题。据说，公孙龙有一次骑马过关，把关的人对他说：“法令规定马不许过。”公孙龙回答说：“我骑的是白马，白马不是马，这可是两回事啊。”公孙龙的“白马”有没有过关，我们不得而知。从常人的观点来看，守关的兵士八成认为公孙龙是在诡辩。这也是一个逻辑上“莫能与辩”，现实中不能成立的例子。

冯友兰认为《公孙龙子》里的《白马论》对“白马非马”进行了三点论证：一是强调“马”、“白”、“白马”的内涵不同。“马”的内涵是一种动物，“白”的内涵是一种颜色，“白马”的内涵是一种动物加一种颜色。三者内涵各不相同，所以白马非马。二是强调“马”、“白马”的外延的不同。“马”的外延包括一切马，不管其颜色的区别：“白马”的外延只包括白马，有颜色区别。外延不同，所以白马非马。三是强调“马”这个共相与“白马”这个共相的不同。马的共相，是一切马的本质属性，它不包涵颜色，仅只是“马作为马”。共性不同，“马作为马”与“白马作为白马”不同。所以白马非马。

前面我们说到，辩证法是在对付诡辩论的过程中发展起来的。黑格尔在《小逻辑》中说：“辩证法切不可与单纯的诡辩相混淆。诡辩的本质在于孤立起来看事物，把本身片面的、抽象的规定，认为是可靠的。”（《逻辑学概念的进一步规定和部门划分》）

从辩证法的角度看，“白马非马”割断了个别和一般的关系。白马属于个性，特指白颜色的马；马属于一般，具有各种颜色马的共性。公孙龙区分了它们之间的差别，但是又绝对化了这种差别。白马尽管颜色上不同于其他的马，如公孙龙提到的黄马、黑马，但仍然是马。作为共性的“马”寓于作为个性的“白马”之中。“马”作为一般的范畴，包括各种颜色的马，公孙龙的白马自然也不例外。

４－２　“杀盗非杀人也”

这个命题与“白马非马”何其相似，尽管论证的方法和目的不同。荀子把墨辩“杀盗非杀人也”归入“惑于用名以乱名”的诡辩。荀子认为，在外延方面“人”的范畴包含了“盗”的范畴。所以，说“盗”的时候，就意味着说他同时也是“人”；杀“盗”也是杀人。

４－３　坚白石论坚白石论指一块“坚白石”，它有坚、白、石三个要素组成。公孙龙主张“坚”为石头的特性，“白”为石头的颜色。眼睛看到的这块石头是白色的，手触摸到的这块石头才知到它是坚硬的；白色由视觉而得，坚硬由触觉而来，坚与白不能同时被认知。因此，公孙龙认为就一块坚白石而言，人不可能同时认识到其中三个组成要素：坚、白、石，而只能是坚石或白石。

这是从感知的角度来证明坚、白彼此分离，是分析方法的早期运用。“离坚白之辩”是古代中国的一个著名命题，习惯上人们并不接受，但是对于名家自身来讲，如果没有精密的思考，也不可能提出这些深刻的问题。尽管名家在逻辑上的辩论天下无敌手，但是遭到诸家反对。庄子说他们：“饰人之心，易人之意，能胜人之口，不能服人之心，辩者之囿也。”《荀子》也认为：“虽辩，君子不听。”这的确是名家的吊诡。

中国古有名辩逻辑，唐代传入印度因明，近代又引进了西方逻辑，成为世界三大逻辑的汇合点。黑格尔在《小逻辑》里说：“一说到诡辩我们总以为这只是一种歪曲正义和真理，从一种谬妄的观点去表述事物的思想方式。但这并不是诡辩的直接的倾向。诡辩派原来的观点不是别的，只是一种‘合理化论辩’的观点。”

这是针对古希腊人说的，对中国的名家来讲，同样适合。

４－４　怎么翻译？英语里有一个Buchowski悖论：“Myounger　brother　is　older　than　I　am。”单纯地看这句话是一个悖论，实际上这个“我”有两个哥哥。小哥哥（younger　brother）自然比他的年龄大。但是younger　brother在英语里又有“弟弟”的意思，硬译过来，如果是：“我弟弟的年龄比我大。”为常识错误；如果是：“我的小哥哥的年龄比我大。”构不成悖论。英语的brother与汉语里的“兄弟”并不完全对应。在这个例子里，汉语对“兄弟”作了进一步的划分，减少了歧意。

（五）由前提不自洽导致的悖论这里我们将看到，前提不自洽，结论就无法自圆其说，甚至荒谬或没有结论。

５－１“罗素是教皇”

从单纯的逻辑上来讲，荒谬的假设可以推论出任何荒谬的结论，哪怕推理过程无懈可击。有人曾经让罗素证明从“２＋２＝５”推出“罗素是教皇”。罗素证明如下：由于２＋２＝５，等式的两边同时减去２，得出２＝３；两边同时再减去１，得出１＝２；两边移位，得出２＝１。

教皇与罗素是两个人，既然２＝１，教皇和罗素就是１个人，所以“罗素就是教皇”。

这个荒谬的结论，就是由一个荒谬的假设引发出来的。

５－２“亚里斯多德是类概念”

这是严格按照三段论推导出来的结果。请看：（１）亚里斯多德是哲学家，（２）哲学家是类概念，（３）所以，亚里斯多德是类概念。亚里斯多德（Aristotle，公元前384－前322）是希腊大哲学家和天文学家，曾就学于柏拉图，继承苏格拉底以来的希腊哲学而自成体系，在西方的影响最大。他系统总结了三段论法原理，奠定了逻辑思维的基础。

上面这个结论恐怕连亚里斯多德本人也不会认同。因为其中蕴含了一个“语义悖论”。因为语句（１）中的哲学家和语句（２）中的“哲学家”不在一个层次上，前者是对象概念，后者是元概念。两个前提内涵不一致，结论就荒谬了。从根本上来讲这不是一个语言或语法问题，而是一种逻辑错误。自塔尔斯基在30年代提出“语言层次论”来，就一直受到人们的关注。

５－３自相矛盾这个例子正相反，是一个因为前提不相容而推不出结论的经典例子。

《韩非子。势难》介绍了这个预言：有一个同时卖矛和盾的人。他先夸他的盾最坚固，无论什么东西都戳不破；接着又夸他的矛最锐利，无论什么东西都能刺透。旁人问他：如果用他的矛来刺他的盾会有什么结果，他回答不上来，因为两者相互抵触。这是一个既不可以同时为真，也不可以同时为假的命题。前提出现矛盾，也就无法推出结论。

５－４纸牌悖论纸牌悖论就是纸牌的一面写着：“纸牌反面的句子是对的。”而另一面却写着：“纸牌反面的句子是错的。”这是由英国数学家Jourdain提出来的。

我们同样推不出结果来。它最简单的形式是：５－５“悖论元”

下面这句话是对的，上面这句话是错的。这也是一个有名的悖论，叫乔丹真值（Jourdain　Truth－Value）悖论。以上这三个例子基本属于一个类型。

５－６“先有鸡，还是先有蛋？”这个互为因果的循环推理本身无法自我解脱，需要实际的考证，如考古学和生物学的研究成果等，才能打破这一循环。

它里面也隐含着一个不相容的前提假设：“鸡是由蛋孵化出来的，蛋又是由鸡生出来的。”单独来看都符合日常观察，但合在一起却是一对不自洽的假设。

５－７“如果说上帝是万能的，他能否创造一块他举不起来的大石头？”这是一个流传很广的悖论。如果说能，上帝遇到一块“他举不起来的大石头”，说明他不是万能；如果说不能，同样说明他不是万能。这是用结论来责难前提。这个“全能者悖论”的另一种表达方法是：“全能的创造者可以创造出比他更了不起的事物吗？”

５－８“你会杀掉我”

这个故事有几个版本。大意是说：一夥强盗抓住了一个商人，强盗头目对商人说：“你说我会不会杀掉你，如果说对了，我就把你放了；如果说错了，我就杀掉你。”商人一想，说：“你会杀掉我。”于是强盗把他放了。

推理一下：如果强盗把商人杀了，他的话无疑是对的，应该放人；如果放人，商人的话就是错的，应该杀掉，又回到前面的推理，这是一个悖论。聪明的商人找到的答案使强盗的前提互不相容。

5－9“你会吃掉我的孩子”。这个例子与上面的例子逻辑同构。一条鳄鱼抢走了一个小孩，它对孩子的母亲说：“我会不会吃掉你的小孩？答对了，孩子还给你；答错了，我就吃了他。”我们已经知道了母亲的答案：“你会吃掉我的孩子。”

5－10两小儿辩日这是《列子》里的一则预言：孔子遇到两个小孩在争论，一个说：“日出时，太阳距离我们近，中午距离我们远。因为日出时太阳大得像车轮，中午小得像盘子。

这不正是近大远小吗？“另一个却说：”日出时，太阳距离我们远，中午距离我们近。因为日出时我们不觉得热，中午却非常热。这不是近热远凉吗？“孔子不能答。这是今天的一个科学常识问题，但两千多年前的人并不知道。从逻辑上看，这里有“近大远小”、“近热远凉”两个测度的标准。在回答问题以前，应该搞清楚哪个标准更准确，或者都不准确。

５－１１爱瓦梯尔应不应该付学费？传说古希腊人爱瓦梯尔（Ｅｕｌａｔｈｌｕｓ）向普洛太哥拉斯学习辩术（另有一说是学习法律）。他们的约定是：爱瓦梯尔先付一半学费，另一半学费等学成后在第一场辩护胜诉时再付，如果败诉，则学费不必再交。但是爱瓦梯尔毕业以后，没有担任辩护工作，不打算交另一半学费。普洛太哥拉斯准备告他，说：“如果我胜诉了，法官会判你付我学费；如果我败诉，根据约定你还是要付我学费。总之要付。”。爱瓦梯尔则说：“如果我胜诉，法官也会判我不付学费；如果我败诉，按照约定我也不必付另一半的学费。总之不付。”（见王九逵《逻辑与数学思维》）

这个问题反过来看，逻辑上也同样成立。如果爱瓦梯尔先说：“